\subsection{直角三角形的性质}\label{subsec:czjh1-3-12}
\begin{enhancedline}

直角三角形也是一种常见的特殊三角形，它除了有一般三角形的性质外，还有一些特殊性质。

因为直角三角形有一个角是直角，根据三角形内角和定理可推出下面的定理：

\begin{dingli}[定理1]
    在直角三角形中，两个锐角互余。
\end{dingli}

下面，我们再来研究直角三角形另外一些性质。

在图 \ref{fig:czjh1-3-48} 中， 从 $Rt \triangle$\footnote{符号 “$Rt \triangle$” 表示直角三角形。}$ABC$ 的直角顶点 $C$，
作射线 $CD$， 交 $AB$ 于 $D$， 使 $\angle ACD = \angle A$。

\begin{wrapfigure}[6]{r}{7cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch3-48}
    \caption{}\label{fig:czjh1-3-48}
\end{wrapfigure}

我们看 $CD$ 和斜边 $AB$ 的大小有什么关系。

$\because$ \quad $\angle ACD = \angle A$，

$\therefore$ \quad $AD = CD$（等角对等边），

又 $\because$ \quad \begin{zmtblr}[t]{}
    $\angle B + \angle A = 90^\circ$（直角三角形两锐角互余），\\
    $\angle 1 + \angle ACD = 90^\circ$，
\end{zmtblr}


$\therefore$ \quad $\angle B = \angle 1$。

$\therefore$ \quad $BD = CD$。

于是得 \quad $AD = BD = CD$。

即 \quad $CD$ 是斜边 $AB$ 上的中线， 并且 $CD = \exdfrac{1}{2} AB$。

由此，我们得到下面的定理：

\begin{dingli}[定理2]
    在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
\end{dingli}

注意：从本节开始，在证明过程中，括号内的理由，可以只写主要公理和定理，已知、定义等一般不再注明。

由定理2 可知，在图 \ref{fig:czjh1-3-48} 中， $CD = BD$。
如果 $\angle A = 30^\circ$，那么，$\angle B= 60^\circ$， $\triangle DBC$ 是等边三角形，
所以，$BC = BD = \exdfrac{1}{2} AB$。 由此，得到下面的推论：

\begin{tuilun}[推论1]
    在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30^\circ$， 那么它所对的直角边等于斜边的一半。
\end{tuilun}

反过来，如果在 $Rt \triangle ABC$ 中， $\angle C = Rt\angle$，$BC = \exdfrac{1}{2} AB$，
那么 $\triangle BCD$ 是等边三角形，$\angle B = 60^\circ$。所以 $\angle A = 30^\circ$。
于是，又有下面的推论：

\begin{tuilun}[推论2]
    在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 $30^\circ$。
\end{tuilun}


\begin{lianxi}

\xiaoti{说出直角三角形有哪些重要性质。}

\xiaoti{在 $Rt \triangle ABC$ 中，$\angle C = Rt\angle$， $CD$ 是高。找出图中相等的角。}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-subsec12-lx1-02}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-subsec12-lx1-03}
        \caption*{（第 3 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\xiaoti{在 $Rt \triangle ABC$， $CD$ 是斜边上的中线，$CE$ 是高。已知 $AB = 10\;\limi$，
    $DE = 2.5\;\limi$， 求 $CD$ 的长和 $\angle DCE$ 的度数。
}

\end{lianxi}

\liti 图 \ref{fig:czjh1-3-49} 是屋架的设计图的一部分，其中 $AB = 7.4$ 米，$D$ 是 $AB$ 的中点，
并且 $DE$、$BC$ 都垂直于 $AC$。 如果 $\angle BAC = 30^\circ$，
$DE$、$DC$ 和 $BC$ 的长各是多少米？

\begin{wrapfigure}[6]{r}{7cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh1-ch3-49}
    \caption{}\label{fig:czjh1-3-49}
\end{wrapfigure}


\jie 在 $\triangle ABC$ 中，

$\because$ \quad $BC \perp AC$， $\angle ACB = Rt \angle$， $\angle BAC = 30^\circ$，

$\therefore$ \quad $BC = \exdfrac{1}{2} AB$（在直角三角形中，$30^\circ$ 角所对的边等于斜边的一半）。

$\therefore$ \quad $BC = \exdfrac{1}{2} \times 7.4 = 3.7$（米）。

又 $\because$ \quad $D$ 是 $AB$ 中点， $CD$ 是中线，

$\therefore$ \quad $DC = \exdfrac{1}{2} AB$ （在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半）。

$\therefore$ \quad $DC = 3.7$ （米）。

在 $\triangle AED$ 中，同理可求得

\qquad $DE = \exdfrac{1}{2} AD = \exdfrac{1}{4} AB =  1.75$ （米）。

答： $DE$、 $DC$、$BC$ 的长分别是 $1.75$ 米、$3.7$ 米、$3.7$ 米。


\liti 已知： 在 $\triangle ABC$ 中， $\angle ACB = Rt \angle$, $AB = 2 AC$。
$CD$、 $CE$ 分别是中线和高（图 \ref{fig:czjh1-3-50}）。

求证；$\angle ACE = \angle ECD = \angle DCB$。

\zhengming 在 $\triangle ABC$ 中，

$\because$ \quad $\angle ACB = Rt \angle$， $AB = 2 AC$，

$\therefore$ \quad $\angle B = 30^\circ$
 （在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 $30^\circ$）。

又 $\because$ \quad $CD$ 是中线，

$\therefore$ \quad $CD = BD$（在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半），

$\therefore$ \quad $\angle DCB = \angle B = 30^\circ$ （等边对等角）。

在 $\triangle ACD$ 中，

$\because$ \quad $AC = \exdfrac{1}{2} AB = CD$， $CE$ 是高，

$\therefore$ \quad $\angle ACE = \angle DCE$ （等腰三角形底边上的高与顶角平分线重合）。

$\because$ \quad $\angle ACE = \exdfrac{1}{2} (90^\circ - \angle DCB) = \exdfrac{1}{2} (90^\circ - 30^\circ) = 30^\circ$，

$\therefore$ \quad $\angle ACE = \angle ECD = \angle DCB$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-50}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-50}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-subsec12-lx2-01}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\begin{lianxi}

\xiaoti{（口答） 已知 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90^\circ$， $CD$ 是高，
    $\angle A = 30^\circ$， $AB = 4 \;\limi$，
    依次求 $BC$、$\angle BCD$、$BD$、$AD$。
}


\xiaoti{一个人从山下沿 $30^\circ$ 的坡路登上山顶， 共走了 $500$ 米， 求这座山的高度。}

\end{lianxi}

\end{enhancedline}

